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幻方常规解法汇总

没法,组合数学还考幻方构造。这东西不看解法真不会写,虽然没见有啥用,但还是记录下,免得日后再找。按目前填写幻方的方法,是把幻方分成了三类,即奇数阶幻方双偶阶幻方单偶阶幻方。下面按这三类幻方,列出最常用解法(考试用,不求强大,只求有效!)。

 

奇数阶幻方(罗伯法)

奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是:

把1(或最小的数)放在第一行正中; 按以下规律排列剩下的(n×n-1)个数:
1、每一个数放在前一个数的右上一格;
2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列;
3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行;
4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列,那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内;
5、如果这个数所要放的格已经有数填入,那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例,用该填法获得的5阶幻方:

17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9

双偶数阶幻方(对称交换法)

所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方,即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义:就是在 n 阶幻方中,如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和(即 n×n+1),我们称它们为一对互补数 。如在三阶幻方中,每一对和为 10 的数,是一对互补数 ;在四阶幻方中,每一对和为 17 的数,是一对互补数 。

双偶数阶幻方的对称交换解法:

先看看4阶幻方的填法:将数字从左到右、从上到下按顺序填写:

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
      内外四个角对角上互补的数相易,(方阵分为两个正方形,外大内小,然后把大正方形的四个对角上的数字对换,小正方形四个对角上的数字对换)即(1,16)(4,13)互换(6,11)(7,10)互换即可。
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

对于n=4k阶幻方,我们先把数字按顺序填写。写好后,按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数,一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线,象制作4阶幻方的方法一样,对角线上的数字换成互补的数字,就构成幻方。

8阶幻方为例:
(1) 先把数字按顺序填。然后,按4×4把它分割成4块(如图)

1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64

(2) 每个小方阵对角线上的数字(如左上角小方阵部分),换成和它互补的数。

64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1

单偶数阶幻方(象限对称交换法)

n=10为例,10=4×2+2,这时k=2

(1)把方阵分为A,B,C,D四个象限,这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法,依次在A象限,D象限,B象限,C象限按奇数阶幻方的填法填数。

3765290763458515555

(2)在A象限的中间行、中间格开始,按自左向右的方向,标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格,和C象限相对位置上的数,互换位置。

2

(3)在B象限任一行的中间格,自右向左,标出k-1列。(注:6阶幻方由于k-1=0,所以不用再作B、D象限的数据交换), 将B象限标出的这些数,和D象限相对位置上的数进行交换,就形成幻方。

3

下面是6阶幻方的填法:6=4×1+2,这时k=1

4

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该日志于2015-04-18 11:32由 火跃 发表在生活随感分类下, 评论已关闭。

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